Il corso richiede le conoscenze previste nei test di ingresso alle Facoltà di Ingegneria e in particolare nozioni elementari di logica, teoria degli insiemi, algebra elementare, geometria euclidea, operazioni con polinomi e radici, i principali concetti di trigonometria, funzioni elementari (polinomiali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche) e lo studio di equazioni e disequazioni, in particolare razionali, irrazionali, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche.

Insiemi e strutture algebriche. Funzioni. Strutture algebriche e spazi vettoriali. Insiemi numerici. La retta reale. Numeri complessi. Funzioni reali. Funzioni elementari. Matrici. Applicazioni lineari. Autovalori e autovettori. Definizione, polinomio caratteristico di un endomorfismo. Autospazi, molteplicità algebrica e geometrica. Semplicità e criterio relativo. Matrici diagonalizzabili. Sistemi di equazioni lineari. Equazioni e disequazioni. Limiti. Successioni. Continuità. Calcolo differenziale. Studio del grafico di una funzione reale.  Calcolo integrale.

L'obiettivo del corso è quello di fornire una solida preparazione di base sui concetti fondamentali dell'analisi matematica e della geometria e in particolare per i capitoli che riguardano lo studio delle funzioni reali, i loro limiti, il calcolo differenziale, le strutture algebriche e l'algebra delle matrici. Le basi fornite sono finalizzate sia ai corsi successivi di matematica che ai corsi di ingegneria. Rispetto a tali conoscenze lo studente deve acquisirein particolare:

Knowledge and understanding. dovrà conoscere le definizioni e risultati fondamentali dell'analisi matematica in una variabile, della geometria e dell'algebra lineare ed essere in grado di comprendere come questi possono essere utilizzati nella risoluzione di problemi

Applying knowledge and understanding. dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi anche mediamente elaborati, e di comprenderne l'uso nei corsi applicativi.

Making judgements. dovrà essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati ottenuti o fornitigli.

Communication. dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso anche al di fuori di un contesto di calcolo.

Learning skills. Lo studente dovrà essere in grado di impostare matematicamente e risolvere problemi riconducibili a conoscenze relative ai contenuti del corso.

Lezione Frontale, Brainstorming, Problem Solving

L’esame consiste in una prova scritta e in una prova orale (tali prove si svolgono in giorni distinti e prefissati); le date sono disponibili nel calendario degli esami del proprio Corso di Studi. La prova orale viene sostenuta solo dopo aver superato la prova scritta. Per accedere ad entrambe le prove bisogna prenotarsi sull’apposito portale degli studenti.

Prova scritta – Consiste nello svolgimento di alcuni esercizi tra cui, a titolo di esempio: Numeri complessi, Limiti, Studio di funzioni, Integrali, Calcolo matriciale, Sistemi lineari, Applicazioni Lineari, Diagonalizzazione di matrici.

Prova orale – Riguarda contenuti di carattere teorico (definizioni, teoremi, esempi, controesempi e proprietà presentati a lezione); il contenuto è precisato dal programma del corso disponibile nella Scheda del corso (nell’elenco dei documenti disponibili nella sezione Corsi). Vengono richiesti gli argomenti effettivamente trattati a lezione (comprese le dimostrazioni svolte) e si verifica che lo studente sia in grado di applicarli (ad esempio, fornendo esempi concreti di una data definizione o controesempi ad una data implicazione di un teorema). La prova orale è costituita da due parti che vengono svolte di seguito nello stesso giorno: una prima parte nella quale si risponde ad alcuni quesiti teorici (in genere due o tre) in forma scritta e una seconda parte che consiste in un vero e proprio colloquio; il colloquio finale non riguarda necessariamente gli argomenti assegnati in forma scritta. Ai fini della valutazione il colloquio finale è essenziale.

Validità della prova scritta – Il non superamento della prova scritta non ha conseguenze sugli appelli successivi (NON è previsto alcun salto d’appello). La prova orale può essere sostenuta in un appello successivo a quello della prova scritta purché ricadente nello stesso periodo di esami. I periodi di esame sono: 1) gennaio-febbraio, 2) aprile (fuori corso), 3) giugno-luglio, 4) settembre, 5) ottobre-novembre (fuori corso). Ad esempio chi supera la prova scritta nel primo appello del periodo gennaio-febbraio può sostenere la prova orale nello stesso primo appello oppure nel secondo o nel terzo appello sempre tra gennaio e febbraio; chi supera invece la prova scritta nel secondo appello può utilizzare solo le prove orali del secondo e del terzo appello di gennaio-febbraio e infine chi supera la prova scritta nel terzo appello del periodo gennaio-febbraio deve sostenere la prova orale nello stesso terzo appello; le prove scritte quindi non valgono in nessun caso per periodi successivi a quello in cui sono state svolte. Inoltre la prova scritta può essere utilizzata per una sola prova orale e quindi se non si supera la prova orale bisogna sostenere nuovamente anche la prova scritta.

PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA

Insiemi numerici. L'insieme dei numeri interi. L'insieme dei numeri razionali. L'insieme dei numeri reali. Assiomi di campo e dell'ordine. Valore assoluto. Intervalli e intorni. Maggioranti e minoranti. Insiemi limitati superiormente e inferiormente. Massimo e minimo di un insieme. Estremi inferiore e superiore. Caratterizzazione dell'estremo superiore e dell'estremo inferiore (DIM.). Assioma di completezza. Non completezza dell'insieme dei numeri razionali: esistenza ed irrazionalità della radice quadrata di 2 (DIM. dell'irrazionalità). Proprietà archimedea. Densità di Q in R.

Funzioni. Definizione di funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Funzioni composte. Funzioni inverse. Funzione identità.

Funzioni reali di una variabile reale. Proprietà algebriche. Funzioni limitate superiormente e inferiormente. Massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di una funzione. Funzioni monotone e proprietà. Funzioni monotone in un punto e relazioni con la proprietà globale. Funzioni pari, dispari, periodiche.

Funzioni elementari. Definizioni e grafici.

Numeri complessi. Il campo dei numeri complessi. Forma algebrica di un numero complesso. Modulo e coniugato. Coordinate polari. Forma trigonometrica ed operazioni in forma trigonometrica. Forma esponenziale. Radici di un numero complesso. Teorema fondamentale dell'algrbra. Applicazioni: risoluzione di equazioni algebriche nel campo complesso.

Successioni. Definizione di successione. Teorema di unicità del limite (DIM.). Limitatezza delle successioni convergenti. Teorema sul limite delle successioni monotone. Teoremi di confronto. Operazioni sui limiti. Successioni estratte. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Forme indeterminate. Alcuni limiti notevoli. Principio di induzione e applicazioni.

Limiti. Punti di accumulazione e punti isolati. Limite di funzione reale di variabile reale: definizione. Unicità e prime proprietà. Limiti destri e sinistri e proprietà. Caratterizzazione del limite mediante successioni. Applicazioni: non esistenza di limiti. Teoremi di confronto per i limiti. Operazioni sui limiti. Limite delle funzioni composte. Limiti delle funzioni monotone. Limiti delle funzioni elementari. Forme indeterminate. Limiti notevoli.

Continuità. Continuità in un punto e in un insieme. Punti di discontinuità: eliminabili, di prima e di seconda specie. Operazioni sulle funzioni continue. Continuità delle funzioni composte. Continuità delle funzioni elementari. Teorema di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri. Uniforme continuità e teorema di Cantor. Funzioni lipschitziane e relazioni con la uniforme continuità e la continuità. Asintoti verticali, orizzontali ed obliqui.

Calcolo differenziale. Definizione di derivata. Funzioni derivabili. Interpretazione geometrica della derivata. Retta tangente al grafico di una funzione derivabile. Continuità delle funzioni derivabili (DIM.). Derivate sinistre e destre. Punti angolosi e punti cuspidali. Regole di derivazione e derivate delle funzioni elementari. Teorema di Rolle (DIM.), Teorema di Cauchy (DIM.) e Lagrange (DIM.). Teorema di de L'Hopital e applicazioni. Relazioni tra derivata e monotonia. Condizione necessaria per massimi e minimi relativi. Ricerca dei punti di massimo e minimo relativo ed assoluto. Caratterizzazione della crescenza e della stretta crescenza. Criteri per punti di massimo e minimo relativo. Convessità, concavità e punti di flesso: nozione globale e locale. Studio della convessità e dei punti di flesso: condizioni necessarie e criteri. Studio del grafico di una funzione reale. Polinomi di Taylor. Formula di Taylor con il resto di Peano e di Lagrange. Applicazioni al calcolo dei limiti.

Calcolo integrale. Funzioni integrabili secondo Riemann. Interpretazione geometrica dell'integrale. Proprietà degli integrali. Integrabilità delle funzioni monotone, continue e continue a tratti. Esempio di funzione non integrabile secondo Riemann (DIM.). Teorema della media integrale (DIM.). Primitive di una funzione e proprietà. Integrale indefinito. Integrale definito e funzione integrale di una funzione continua. Teorema fondamentale del calcolo integrale (DIM.). Regole di integrazione. Applicazioni. Integrali impropri. Cenni sull'approssimazione numerica degli integrali: il metodo dei trapezi con applicazioni.

 

PROGRAMMA DI GEOMETRIA

Strutture algebriche. Leggi di composizione. Gruppi. Anelli. Campi.

Matrici. Definizione, classi di particolari di matrici. Operazioni di trasposizione, somma e prodotto. Definizione di determinante e proprietà. Primo e secondo teorema di Laplace. Teorema di Binet. Rango di una matrice. Condizione per l’invertibilità di una matrice (DIM.). Calcolo della matrice inversa.

Sistemi di equazioni lineari. Sistemi di equazioni lineari. Operazioni elementari sui sistemi lineari: il metodo di eliminazione di Gauss. Sistemi lineari omogenei. Forma matriciale di un sistema. Il teorema di Cramer. Il teorema di struttura per i sistemi lineari (DIM.). Il teorema di Rouché-Capelli (DIM.). Sistemi lineari dipendenti da parametri.

Spazi vettoriali. Definizione di spazio vettoriale. Sottospazi: somma e somma diretta di sottospazi, intersezione di sottospazi. Combinazioni lineari, dipendenza e indipendenza, insieme di generatori, spazi vettoriali finitamente generati. Basi di spazi vettoriali: proprietà ed esistenza, completamento ed estrazione, dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann.

Applicazioni lineari. Definizioni, nucleo e immagine. Applicazioni lineari iniettive, suriettive. Il teorema fondamentale. Endomorfismi di uno spazio vettoriale. Matrice associata ad un endomorfismo rispetto ad una base. Cambiamento di base e matrici simili. Isomorfismi.

Autovalori e autovettori. Autovettori e autovalori di un endomorfismo. Il polinomio caratteristico di una matrice e di un endomorfismo. Autospazi. Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica di un autovalore. Endomorfismi semplici e matrici diagonalizzabili. Basi di autovettori. Semplicità e criterio relativo. Procedimento di diagonalizzazione.

- A. Albanese, A.Leaci e D.Pallara, Appunti del corso di Analisi Matematica I

- M.Bramanti, C.D.Pagani e S.Salsa: Analisi Matematica 1, Zanichelli, Bologna, 2008.

- P.Marcellini, C.Sbordone: Analisi Matematica uno, Liguori Editore, Napoli, 1998.

- P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di Matematica, Volume 1, parte I-IV, Liguori Editore,  Napoli, 2009.

- R. Chirivì e R. Vitolo: Dispense per il Corso di Geometria ed Algebra