ANALISI MATEMATICA I

Insegnamento
ANALISI MATEMATICA I
Insegnamento in inglese
MATHEMATICAL ANALYSIS 1
Settore disciplinare
MAT/05
Corso di studi di riferimento
MATEMATICA
Tipo corso di studio
Laurea
Crediti
9.0
Ripartizione oraria
Ore Attività frontale: 63.0
Anno accademico
2017/2018
Anno di erogazione
2017/2018
Anno di corso
1
Lingua
ITALIANO
Percorso
PERCORSO COMUNE
Docente responsabile dell'erogazione
MANGINO Elisabetta Maria
Sede
Lecce

Descrizione dell'insegnamento

Nozioni di base di trigonometria, sulle equazioni e disequazioni algebriche,  fratte, irrazionali,  sui sistemi di disequazioni.

Il corso ha come obiettivo principale l'acquisizione di competenze di base nell'ambito dell' analisi matematica, ed in particolare dei concetti di limiti, continuità, derivabilita per funzioni reali di variabile reale.
 

Conoscenze e comprensione. Acquisire una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di base nell'ambito dell'Analisi Matematica.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: 

  • essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati di Analisi Matematicia non identici a quelli già conosciuti, ma chiaramente correlati ad essi,
  •  essere in  grado di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Analisi Matematica.
  • essere in grado di risolvere esercizi di base di Analisi Matematica (studi di funzione, calcolo di limiti, integrazione indefinita) 

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi Matematica, sia in forma scritta che orale.

Capacità di apprendimento.  La capacità di apprendimento  dello studente sarà stimolata indicando piccoli risultati, strettamente connessi con l'insegnamento, da dimostrare autonomamente.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula.

L'esame finale consiste di una prova scritta, in cui si verifica l'acquisizione dell'abilità  alla risoluzione di esercizi di base di Analisi  Matematica, e di una prova orale, in cui si verifica la conoscenza e la capacità di argomentazione dello studente .

Gli studenti che ottengono la sufficienza alla prova scritta in un appello  possono presentarsi alla prova orale non più tardi dell'appello successivo ed una sola volta. Se lo studente  non supera la prova orale è tenuto a sostenere nuovamente la prova scritta. Sono, inoltre, previste due prove di valutazione intermedia (esoneri), la prima delle quali si terrà nel mese di novembre e la seconda  dopo la fine del corso. Gli studenti che ottengono almeno 15 in entrambe le prove e la media del 18  sono esonerati dal sostenere la prova scritta nel periodo d'esame gennaio-febbraio 2018 e potranno presentarsi al più due volte alla prova orale sempre nel periodo gennaio-febbraio 2018, utilizzando l'esonero.
Gli studenti dovranno prenotarsi per l'esame finale, sia alla prova scritta e sia alla prova orale, utilizzando esclusivamente le modalità on-line previste dal sistema VOL.

Nozioni introduttive. Sistema dei numeri reali: assiomi algebrici e dell'ordinamento;  maggioranti, minoranti, insiemi limitati inferiormente, superiormente, massimo, minimo;  esistenza estremo superiore, inferiore e caratterizzazioni. Proprietà archimedea.  Densità di Q in R. Principio d'induzione. Combinatoria. Numeri complessi Funzioni: dominio, codominio, iniettività, suriettività, funzioni inverse, monotonia, limitatezza.  Grafico di una funzione. Funzioni elementari e loro grafici. 

 Limiti di  successioni  e di funzioni. Successioni reali, estratte, teorema sul limite delle successioni monotone, successioni di Cauchy. Teorema di Bolzano Weierstrass. Definizione di limite per funzioni. Limite destro e sinistro. Caratterizzazione del limite di funzioni tramite limiti di successioni. Teorema sulle operazioni con i limiti.  Teorema sul limite  delle funzioni monotone. Teorema sul  limite di funzioni composte. Teoremi di confronto per i limiti. Funzioni continue. Punti di discontinuità. Limiti delle funzioni elementari e limiti notevoli. Infinitesimi ed infiniti. Asintoti.

Funzioni continue. Teoremi degli zeri, dei valori intermedi,  di Weierstrass. Caratterizzazione della continuità  di funzioni monotone. Continuità  della funzione inversa. Funzioni uniformemente continue. Teorema di Heine-Cantor.

Derivazione. Derivata, derivata destra e sinistra. Interpretazione geometrica, retta tangente. Punti angolosi e cuspidali. Regole di derivazione: somma, prodotto, quoziente, funzione composta, funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy.  Studio della monotonia tramite la derivata. Funzioni con derivata identicamente nulla.  Estremi locali. Teorema di de L'Hopital. Derivate successive. Convessit\`a. Polinomio di Taylor. Condizioni necessarie e sufficienti per estremi locali.
Studio del grafico di una funzione.

Integrazione indefinita.  Primitiva, integrale indefinito, integrazione per parti e per sostituzione. Integrali funzioni razionali. Alcune formule di ricorrenza. Sostituzioni razionalizzanti.

 Basic notions:  Real numbers fields and order axioms, upper and lower bounded sets, maximum, minimum, upper bound, lower bound, least upper bound, Archimedean property. Density of Q in R. Induction. Elements of Combinatorics.
Complex numbers. Functions: domain, image, injectivity, surjectivity, inverse functions, monotonicity, bounded functions, graph. Elementary functions.

 Limits of sequences and functions: Real sequences, subsequences, monotonic sequences, Cauchy sequences, Bolzano-Weierstrass Theorem. Limit of  one-variable real valued functions. Right and left limits. Characterization of the limit of a function through sequences. Limit of a monotonic function. Comparison tests for limits. Continuous functions. Discontinous functions. Asymptotics.

 Continuous functions: Existence of zeros. Intermediate value Theorem. Weierstrass Theorem. Continuity of monotonic functions.  Continuity of the inverse function. Uniformly continuous functions. Heine-Cantor theorem.

 Differential Calculus. Derivatives right and left derivatve. Geometrical Interpretation of the derivative. Derivative of sums, products and quotients. Chain rule. Derivative of the inverse function. Derivatives of elementary functions. Fermat, Lagrange, Rolle, Cauchy Theorems. Applications to the study of monotonicity and to local extremes of a function. L'Hopital rule. Upper order derivative. Convexity. Taylor polynomials. Applications to the study of the graph of a functions. 

Indefinite Integration:  Primitives, integration by parts and by substitution. Integrals of rational functions.  

A.Albanese, A. Leaci, D. Pallara. Appunti del Corso di Analisi Matematica I. Disponibile online
J.Cecconi, L. Stampacchia,  Analisi Matematica Vol.1, Liguori
E. Giusti,  Analisi Matematica I, Bollati-Boringhieri
G. Gilardi, Analisi I, Mc Graw Hill.
Marcellini, Fusco, Sbordone, Analisi Matematica I, Liguori.
Marcellini, Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol. I
E. Giusti, Esercizi e Complementi di Analisi Matematica I, Bollati-Boringhieri.

Semestre
Primo Semestre (dal 25/09/2017 al 15/12/2017)

Tipo esame
Obbligatorio

Valutazione
Orale - Voto Finale

Orario dell'insegnamento
https://easyroom.unisalento.it/Orario

Mutuato da
ANALISI MATEMATICA I (LB23)

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