Algebra dei polinomi, equazioni  e disequazioni algebriche di primo e secondo grado e fratte, elementi di trigonometria, principi di geometria euclidea (aree e volumi di figure geometriche elementari), elementi di geometria analitica nel piano.

Calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di variabile reale.

Scopo del corso è l'acquisizione del metodo matematico e delle conoscenze di base dell'analisi matematica, in vista delle applicazioni in campo bio-medico.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione:

Al termine del corso lo studente

• avrà acquisito la conoscenza di concetti matematici con la corretta terminologia, nonché la capacità di darne interpretazioni in altri ambiti disciplinari;
• sarà in grado di risolvere esercizi di base sul calcolo differenziale ed integrale;
• avrà acquisito gli strumenti per il successivo studio dell'analisi statistica di dati;
• sarà in grado di interpretare semplici modelli matematici di fenomeni biomedici.

Lezioni frontali ed esercitazioni 

Prova scritta  con esercizi e domande di teoria

PROGRAMMA 

I  numeri reali:

Costruzione assiomatica del campo dei numeri reali, operazioni algebriche ed ordinamento. Irrazionalità di radice di 2.   Maggioranti e Minoranti,  definizione di massimo e di minimo; unicità del
massimo e del minimo; insiemi numerici limitati inferiormente/superiormente, limitati. Assioma di Completezza; estremo inferiore e superiore e caratterizzazione. Proprietà Archimedea e densità di Q in R. Funzione valore assoluto.

Funzioni reali di variabile reale: 

Definizione di funzione, dominio, codominio,  immagine, grafico. Operazioni tra funzioni e composizione. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzione inversa e proprietà del suo grafico. Alcune classificazioni (monotonia, parità e disparità, limitatezza); punti di massimo/minimo, assoluti/relativi; estremo inferiore e superiore e caratterizzazione.  Funzioni elementari: funzione costante, affine, valore assoluto e parte intera; potenze, esponenziali, logaritmi, trigonometriche. 

I numeri complessi:

Definizioni; forma algebrica, forma trigonometrica e forma esponenziale; piano di Gauss; coordinate polari; Teorema di De Moivre; Radici n-esime; Teorema fondamentale dell'Algebra, Corollario al Teorema fondamentale dell'Algebra per polinomi a coefficienti reali.

Successioni:

Principio d'induzione; definizione; successioni monotone, limitate inferiormente/superiormente, limitate; successione estratta.  Limite di una successione reale ed esempi; limiti delle successioni elementari; Unicità del limite; limitatezza delle successioni convergenti. Operazioni sui limiti per successioni convergenti. Teoremi di confronto: permanenza del segno, confronto, Carabinieri. Limite prodotto successione infinitesima per limitata, limite  successione maggiore di una divergente. Forme indeterminate e operazioni con i limiti (caso generale). Ordini di grandezza. Teorema fondamentale sulle successioni monotone, limite di Nepero. Successioni estratte, Caratterizzazione del limite tramite successioni estratte, Teorema di Bolzano Weierstrass. Successioni di Cauchy e Criterio di Cauchy. 

Limiti delle funzioni reali:

Topologia di R ampliato: Il concetto di intorno e relative proprietà; punti di accumulazione, interni ed isolati. Definizioni di limite. Unicità del limite; caratterizzazione del limite mediante successioni dei
valori, teorema di limitatezza locale. Teoremi di confronto: permanenza del segno, confronto, Carabinieri. Operazioni sui limiti e forme indeterminate.  Limite prodotto funzione infinitesima per limitata, Limite  funzione maggiore di una divergente. Intorni destri e sinistri, Limite da destra e da sinistra, Esistenza del limite tramite limite destro e sinistro; limiti delle funzioni monotone. Limite di funzioni composte. Limiti notevoli e andamenti asintotici; infinitesimi ed infiniti,  funzioni asintotiche e principio di sostituzione.

Funzioni continue:

Definizione di funzione continua in un punto, in un insieme; Continuità delle funzioni elementari, operazioni con le funzioni continue; caratterizzazione delle funzioni continue con le successioni;
 punti di discontinuità: eliminabile, di 1° e 2° specie. Teorema di Weierstrass, teorema di esistenza degli zeri, teorema dei valori intermedi. Continuità e monotonia; continuità dell'inversa di una funzione continua. Funzioni uniformemente continue e Teorema di Heine-Cantor.  Asintoti: verticali, orizzontali, obliqui.

Derivazione:

Rapporto incrementale e definizione di derivata; proprietà base, interpretazione geometrica  ed esempi. Derivata destra e sinistra e punti di non derivabilità con esempi (punti a tangente verticale,
punti angolosi, punti di cuspide). Regole di calcolo per le derivate; derivazione di funzioni composte; derivazione della funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari. Punti di massimo/di minimo relativi, punti critici, Teorema di Fermat, teorema di Rolle, teorema di  Lagrange, teorema di Cauchy. Derivate successive.  Conseguenze del teorema di Lagrange: Criterio di monotonia,  funzioni convesse/concave su un intervallo,  punti di flesso, Criterio di convessità. Teorema di De l'Hopital. Infinitesimi ed o-piccoli, Polinomio di Taylor,  formula di Taylor con il resto di Peano,  formula di Taylor con il resto di Lagrange, applicazione della formula di Taylor alla determinazione dei punti di massimo/minimo. Funzioni lipschitziane, caratterizzazione funzioni lipschitziane derivabili; esempi di funzioni Lipschitziane e di funzioni non Lipschitziane.

Teoria dell’integrazione:

Partizioni di un intervallo, somme integrali superiori ed inferiori, integrale superiore ed inferiore, funzioni integrabili secondo Riemann. Funzione di Dirichlet,  algebra delle funzioni integrabili, proprietà dell'integrale rispetto all'intervallo di integrazione e confronto.  Interpretazione geometrica dell'integrale e calcolo di aree. Caratterizzazione delle funzioni integrabili;  Integrabilità  delle funzioni continue e delle funzioni monotone. Teorema della media integrale. Primitiva di una funzione e integrale indefinito; proprietà delle primitive; teorema fondamentale del calcolo integrale; formula fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrali razionali.  Integrale in senso improprio per funzioni illimitate e/o definite su una semiretta; alcuni teoremi di confronto.

Cenni alla teoria delle serie numeriche: 

Definizione; serie convergenti e regolari; la serie geometrica. Condizione necessaria per le serie convergenti; convergenza assoluta; criteri di convergenza per confronto per le serie a termini non negativi;  criterio del confronto con l'integrale improprio; la serie armonica e la serie armonica generalizzata. Sviluppi in serie di Taylor. 

Cenni  sulle funzioni reali di più variabili reali .

Norma e distanza euclidea, successioni in R^n,  limiti e continuità di funzioni in più variabili. Derivate parziali, gradiente e differenziabilità. Teorema del differenziale totale. Derivate seconde parziali, teorema di Schwarz. 

Equazioni differenziali.

Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie. Problema di Cauchy e teorema di esistenza e unicità locale di Cauchy. Controesempio al teorema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del primo ordine, equazioni  a variabili separabili,  equazioni di Bernoulli. Dinamica delle popolazioni e modello logistico. Struttura dell'integrale generale di un'equazione differenziale lineare. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.

1. A. Albanese, A. Leaci, D. Pallara, Appunti del corso di Analisi Matematica 1 e 2 (dispense disponibili in rete).
2. Marcellini, Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol. I, Vol. II, Liguori.
3. Marcellini, Sbordone: Esercitazioni di Matematica Due, volume I e II, Zanichelli, 2017.
4. Benedetto, Degli Esposti, Maffei, Matematica per le scienze della vita, Zanichelli.

Sono propedeutici i contenuti dei corsi di Analisi Matematica I e Geometria ed Algebra.

Calcolo differenziale in più variabili reali, equazioni differenziali, integrali multipli e di superficie, trasformate integrali e applicazioni.

Obiettivi del corso Il corso si propone di fornire, in maniera rigorosa e nello stesso tempo sintetica, i
contenuti degli argomenti fondamentali dell’Analisi Matematica 2, includendo anche le funzioni olomorfe e
la trasformate di Fourier e di Laplace.
Risultati di apprendimento Dopo il corso lo studente dovrebbe essere in grado di conoscere, comprendere e
saper utilizzare i contenuti fondamentali dell’Analisi Matematica. In particolare, lo studente dovrebbe essere
in grado di risolvere problemi del tipo:
1. Determinare gli estremi relativi e assoluti (vincolati o no) di funzioni reali di più variabili reali.
2. Calcolare integrali di linea, integrali di superficie, integrali doppi, tripli.
3. Determinare le primitive di campi conservativi.
4. Determinare l’integrale generale di classi fondamentali di equazioni differenziali.
5. Calcolare integrali impropri con l’uso del teorema dei residui.
6. Calcolare la trasformata di Fourier e di Laplace.
7. Risolvere equazioni differenziali lineari con l’uso della trasformata di Laplace.

Lezioni ed esercitazioni in aula.

L’esame consiste di due prove scritte: esercizi nella prima e quesiti teorici nella seconda. La seconda prova scritta deve essere sostenuta entro la stessa sessione in cui si è superata la prima e può essere sostituita da un'interrogazione orale, a richiesta dello studente.

Programma del corso
1. Limiti e continuità in più variabili:

Richiami sulle proprietà algebriche di R n . Distanza e norma in R n . Intorni sferici, intorni di un punto e punti di accumulazione in R n . Insiemi aperti, chiusi e loro proprietà. Insiemi limitati in R n . Chiusura, interno, frontiera e derivato di un sottoinsieme di R n . Insiemi connessi per poligonali e insiemi connessi. Insiemi convessi e insiemi stellati. Successioni e limiti. Proprietà del limite di successioni. Insiemi compatti e loro caratterizzazione. Limite di funzioni. Caratterizzazione del limite di funzioni mediante successioni. Rette in R n ed equazioni parametriche. Direzioni in R n . Continuità per funzioni di più variabili. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Uniforme continuità. Teorema di Heine-Cantor. Funzioni Lipschitziane. Funzioni vettoriali di una variabile.
2. Calcolo differenziale in più variabili:

Derivate direzionali e derivate parziali. Differenziabilità
di una funzione. Conseguenze della differenziabilità. Differenziabilità della funzione composta (I teorema). Teorema del differenziale totale. Piano tangente. Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz sull’invertibilità dell’ordine di derivazione. Formula di Taylor del secondo ordine per funzioni di più variabili. Classificazione e proprietà delle forme quadratiche. Massimi e minimi relativi di una funzione di più variabili; condizione necessaria sul gradiente; condizioni necessarie e/o sufficienti sulla matrice hessiana. Differenziabilità di funzioni a valori vettoriali. Differenziabilità della funzione composta (II teorema). Cambiamenti di coordinate (lineari, polari, cilindriche e sferiche). Massimi e minimi vincolati: vincoli parametrici e cartesiani, vincoli impliciti. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
3. Curve ed integrali di linea:

Curve regolari. Lunghezza di  una curva. Teorema di rettificabilità. Integrali vettoriali conservativi. Teorema sulle primitive di campi 
continui. Condizione necessaria per i campi C 1 per l'esistenza delle primitive. Curve equivalenti. Definizione di integrale curvilineo di funzioni e di campi vettoriali. Campi conservativi ed irrotazionali. Caratterizzazioni dei campi conservativi. Condizione sufficiente sugli aperti stellati. Calcolo.
4. Equazioni differenziali:

Soluzioni locali, massimali, globali. Problema di Cauchy. Equivalenza con una equazione integrale. Lemma di Gronwall. Teorema di esistenza e unicità globale. Teorema di esistenza e unicità locale. Teorema di esistenza e unicità per equazioni di ordine superiore. Equazioni lineari: integrale generale per equazioni omogenee e non omogenee. Equazioni del I ordine. Metodo di Lagrange o della variazione dei parametri. Equazioni a coefficienti costanti: descrizione del metodo di risoluzione. Altre equazioni integrabili elementarmente: a variabili separabili, omogenee, di Bernoulli, autonome.
5. Integrali multipli:

La misura di Lebesgue in R n . Misura di rettangoli e pluri-rettangoli, misura esterna in R n . Gli insiemi misurabili e la misura di Lebesgue in R n . Proprietà degli insiemi misurabili e della misura. Funzioni misurabili e loro proprietà. Integrale di una funzione semplice e di una funzione positiva. Funzioni di segno qualunque. Proprietà dell’integrale. Teorema di Fubini-Tonelli e del sottografico. Integrali doppi e tripli. Formule di riduzione nel caso di domini normali. Teorema di cambiamento di variabile per gli integrali multipli. Cambiamento di variabili lineari, in coordinate polari in R 2 , in coordinate cilindriche e sferiche in R 3 . Applicazioni. Integrali per funzioni e insiemi illimitati. Teoremi di confronto. Passaggio al limite sotto il segno d’integrale: Teorema della convergenza monotona (Beppo Levi),Teorema della convergenza dominata (Lebesgue). Integrali dipendenti da parametri: continuità e differenziabilità. Gli spazi L p (E) per p = 1, 2, ∞. Disuguaglianze di Hölder e di Minkowski. Spazi di Hilbert e prodotto scalare in L 2 (E). Basi hilbertiane. Uguaglianze di Bessel e di Parseval. Superficie regolari, piano tangente e versore normale. Area di una superficie ed integrali di superficie per funzioni scalari. Flusso di un campo vettoriale. Teorema della divergenza in due e tre dimensioni.
6. Analisi Complessa:

Successioni, limiti e continuità di funzioni complesse. Funzioni olomorfe. Teorema di Cauchy-Riemann e conseguenze. Serie di potenze in campo complesso. Le funzioni elementari. Cammini e integrali curvilinei. Proprietà. Teorema di Cauchy negli stellati. Formula di Cauchy. Disuguaglianze di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell’algebra. Circuiti omotopici e Teorema di Cauchy. Singolarità e serie di Laurent in una corona e in un punto singolare. Classificazione delle singolarità. Residui, metodi di calcolo e il Teorema dei residui. I Teoremi di Jordan. Applicazioni al calcolo di integrali.
7. Trasformata di Fourier:

La Trasformata di Fourier in L 1 (R n ). Proprietà della trasformata. Regole algebriche e analitiche di trasformazione. Convoluzione. Teorema di inversione. La Trasformata di Fourier in L 2 (R n ). Principali trasformate.
8. Trasformata di Laplace:

Definizione e proprietà generali. Regole algebriche e analitiche di trasformazione. Inversione della trasformata di Laplace, condizioni sufficienti, formula di Heaviside. Applicazioni alla risoluzione di problemi differenziali. Principali trasformate.

Testi consigliati:
A.Albanese, A.Leaci, D.Pallara: Dispense del corso (in rete).
N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone: Analisi Matematica due, Liguori Editore.
E. Acerbi, G.Buttazzo: Secondo corso di analisi Matematica, Pitagora.
P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di Matematica 2, parte I e II, Liguori Editore.

F. Gazzola, F. Tomarelli, M. Zanotti: Funzioni analitiche, trasformate, equazioni differenziali, Esculapio, Bologna.
F.Tomarelli: Esercizi di Metodi Matematici per l’Ingegneria, CLUP, Milano.

Algebra dei polinomi, equazioni  e disequazioni algebriche di primo e secondo grado, elementi di trigonometria, principi di geometria euclidea (aree e volumi di figure geometriche elementari), elementi di geometria analitica nel piano.

Calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di variabile reale.

Scopo del corso è l'acquisizione del metodo matematico e delle conoscenze di base dell'analisi matematica, in vista delle applicazioni in campo bio-medico.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione:

Al termine del corso lo studente

• avrà acquisito la conoscenza di concetti matematici con la corretta terminologia, nonché la capacità di darne interpretazioni in altri ambiti disciplinari;
• sarà in grado di risolvere esercizi di base sul calcolo differenziale ed integrale;
• avrà acquisito gli strumenti per il successivo studio dell'analisi statistica di dati;
• sarà in grado di interpretare semplici modelli matematici di fenomeni biomedici.

Lezioni frontali ed esercitazioni 

Prova scritta  con esercizi e domande di teoria

PROGRAMMA 

I  numeri reali:

Costruzione assiomatica del campo dei numeri reali, operazioni algebriche ed ordinamento. Irrazionalità di radice di 2.   Maggioranti e Minoranti,  definizione di massimo e di minimo; unicità del
massimo e del minimo; insiemi numerici limitati inferiormente/superiormente, limitati. Assioma di Completezza; estremo inferiore e superiore e caratterizzazione. Proprietà Archimedea e densità di Q in R. Funzione valore assoluto.

Funzioni reali di variabile reale: 

Definizione di funzione, dominio, codominio,  immagine, grafico. Operazioni tra funzioni e composizione. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzione inversa e proprietà del suo grafico. Alcune classificazioni (monotonia, parità e disparità, limitatezza); punti di massimo/minimo, assoluti/relativi; estremo inferiore e superiore e caratterizzazione.  Funzioni elementari: funzione costante, affine, valore assoluto e parte intera; potenze, esponenziali, logaritmi, trigonometriche. 

I numeri complessi:

Definizioni; forma algebrica, forma trigonometrica e forma esponenziale; piano di Gauss; coordinate polari; Teorema di De Moivre; Radici n-esime; Teorema fondamentale dell'Algebra, Corollario al Teorema fondamentale dell'Algebra per polinomi a coefficienti reali.

Successioni:

Principio d'induzione; definizione; successioni monotone, limitate inferiormente/superiormente, limitate; successione estratta.  Limite di una successione reale ed esempi; limiti delle successioni elementari; Unicità del limite; limitatezza delle successioni convergenti. Operazioni sui limiti per successioni convergenti. Teoremi di confronto: permanenza del segno, confronto, Carabinieri. Limite prodotto successione infinitesima per limitata, limite  successione maggiore di una divergente. Forme indeterminate e operazioni con i limiti (caso generale). Ordini di grandezza. Teorema fondamentale sulle successioni monotone, limite di Nepero. Successioni estratte, Caratterizzazione del limite tramite successioni estratte, Teorema di Bolzano Weierstrass. Successioni di Cauchy e Criterio di Cauchy. 

Limiti delle funzioni reali:

Topologia di R ampliato: Il concetto di intorno e relative proprietà; punti di accumulazione, interni ed isolati. Definizioni di limite. Unicità del limite; caratterizzazione del limite mediante successioni dei
valori, teorema di limitatezza locale. Teoremi di confronto: permanenza del segno, confronto, Carabinieri. Operazioni sui limiti e forme indeterminate.  Limite prodotto funzione infinitesima per limitata, Limite  funzione maggiore di una divergente. Intorni destri e sinistri, Limite da destra e da sinistra, Esistenza del limite tramite limite destro e sinistro; limiti delle funzioni monotone. Limite di funzioni composte. Limiti notevoli e andamenti asintotici; infinitesimi ed infiniti,  funzioni asintotiche e principio di sostituzione.

Funzioni continue:

Definizione di funzione continua in un punto, in un insieme; Continuità delle funzioni elementari, operazioni con le funzioni continue; caratterizzazione delle funzioni continue con le successioni;
 punti di discontinuità: eliminabile, di 1° e 2° specie. Teorema di Weierstrass, teorema di esistenza degli zeri, teorema dei valori intermedi. Continuità e monotonia; continuità dell'inversa di una funzione continua. Funzioni uniformemente continue e Teorema di Heine-Cantor.  Asintoti: verticali, orizzontali, obliqui.

Derivazione:

Rapporto incrementale e definizione di derivata; proprietà base, interpretazione geometrica  ed esempi. Derivata destra e sinistra e punti di non derivabilità con esempi (punti a tangente verticale,
punti angolosi, punti di cuspide). Regole di calcolo per le derivate; derivazione di funzioni composte; derivazione della funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari. Punti di massimo/di minimo relativi, punti critici, Teorema di Fermat, teorema di Rolle, teorema di  Lagrange, teorema di Cauchy. Derivate successive.  Conseguenze del teorema di Lagrange: Criterio di monotonia,  funzioni convesse/concave su un intervallo,  punti di flesso, Criterio di convessità. Teorema di De l'Hopital. Infinitesimi ed o-piccoli, Polinomio di Taylor,  formula di Taylor con il resto di Peano,  formula di Taylor con il resto di Lagrange, applicazione della formula di Taylor alla determinazione dei punti di massimo/minimo. Funzioni lipschitziane, caratterizzazione funzioni lipschitziane derivabili; esempi di funzioni Lipschitziane e di funzioni non Lipschitziane.

Teoria dell’integrazione:

Partizioni di un intervallo, somme integrali superiori ed inferiori, integrale superiore ed inferiore, funzioni integrabili secondo Riemann. Funzione di Dirichlet,  algebra delle funzioni integrabili, proprietà dell'integrale rispetto all'intervallo di integrazione e confronto.  Interpretazione geometrica dell'integrale e calcolo di aree. Caratterizzazione delle funzioni integrabili;  Integrabilità  delle funzioni continue e delle funzioni monotone. Teorema della media integrale. Primitiva di una funzione e integrale indefinito; proprietà delle primitive; teorema fondamentale del calcolo integrale; formula fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrali razionali.  Integrale in senso improprio per funzioni illimitate e/o definite su una semiretta; alcuni teoremi di confronto.

Cenni alla teoria delle serie numeriche: 

Definizione; serie convergenti e regolari; la serie geometrica. Condizione necessaria per le serie convergenti; convergenza assoluta; criteri di convergenza per confronto per le serie a termini non negativi;  criterio del confronto con l'integrale improprio; la serie armonica e la serie armonica generalizzata. Sviluppi in serie di Taylor. 

Cenni  sulle funzioni reali di più variabili reali .

Norma e distanza euclidea, successioni in R^n,  limiti e continuità di funzioni in più variabili. Derivate parziali, gradiente e differenziabilità. Teorema del differenziale totale. Derivate seconde parziali, teorema di Schwarz. 

Equazioni differenziali.

Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie. Problema di Cauchy e teorema di esistenza e unicità locale di Cauchy. Controesempio al teorema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del primo ordine, equazioni  a variabili separabili,  equazioni di Bernoulli. Dinamica delle popolazioni e modello logistico. Struttura dell'integrale generale di un'equazione differenziale lineare. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.

1. A. Albanese, A. Leaci, D. Pallara, Appunti del corso di Analisi Matematica 1 e 2 (dispense disponibili in rete).
2. Marcellini, Sbordone, Esercitazioni di Matematica, Vol. I, Vol. II, Liguori.
3. Marcellini, Sbordone: Esercitazioni di Matematica Due, volume I e II, Zanichelli, 2017.
4. Benedetto, Degli Esposti, Maffei, Matematica per le scienze della vita, Zanichelli.

Nessuno

Disequazioni algebriche, coniche, elementi di analisi.

Fornire allo studente gli strumenti matematici indispensabili per poter proseguire nel percorso di studi. 

Lezioni frontali

Prova scritta

Disequazioni, coniche, elementi di analisi (limite, continuità, derivata), studio di funzione.

Un qualunque buon manuale di matematica  per liceo scientifico.

Il corso di Analisi Matematica e Geometria I 

Mathematical Analysis and Geometry I

Capitolo 1. Serie Numeriche. Successioni e serie di funzioni. Serie di Taylor e  di Fourier.

Capitolo 2. Limiti e continuità in più variabili: Richiami sulle proprietà algebriche, metriche e topologiche di R^n. 
Continuità per funzioni di più variabili. Teoremi di Weierstrass, dei valori intermedi, di Heine-Cantor. 

Capitolo 3. Calcolo differenziale in più variabili: Derivate direzionali e derivate parziali. Differenziabilità di una funzione. Conseguenze della differenziabilità. Massimi e minimi relativi di una funzione di più variabili. Estremi liberi e vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Capitolo 4. Curve ed integrali di linea. Curve regolari. Curve equivalenti. Definizione e calcolo della lunghezza di una curva. 
Integrali di linea di funzioni e di campi vettoriali. Campi vettoriali conservativi. Calcolo dei potenziali. 

Capitolo 5. Equazioni differenziali: soluzioni locali, massimali, globali. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità globale (*). Teorema di esistenza e unicità  locale. Teorema di esistenza e unicità  per equazioni di ordine superiore. Equazioni lineari: integrale generale per equazioni omogenee e non omogenee (*). Equazioni del I° ordine (*). Metodo di Lagrange o della variazione dei parametri. Equazioni a coefficienti costanti: descrizione del metodo di risoluzione. Altre equazioni integrabili elementarmente: a variabili separabili, omogenee, di Bernoulli, autonome.

Capitolo 6. Integrali multipli: integrale di Riemann.  Integrali doppi e tripli. Formule di riduzione nel caso di domini normali. Teorema di cambiamento di variabile per gli integrali multipli. Passaggio al limite sotto il segno d'integrale. Superfici regolari, piano tangente e versore normale. Area di una superficie ed integrali di superficie per funzioni scalari. Flusso di un campo vettoriale. Teorema della divergenza in due e tre dimensioni.

Capitolo 7. Geometria nel piano e nello spazio. Forme quadratiche: Definizioni. Matrici definite, semidefinite e indefinite.
Richiami su Spazi euclidei. Definizione, norma, distanza e disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e di Minkowski. Complementi di Geometria analitica del piano: Trasformazioni del piano. Coniche e loro classificazione. Geometria analitica dello spazio. Rette, piani e sfere: equazioni cartesiane e parametriche e posizioni reciproche. Cenni sulle quadriche. Trasformazioni nello spazio.

Contents.

Chapter 1. Numerical Series. Sequences and series of functions. Taylor and Fourier series.

Chapter 2. Limits and continuity in several variables: Review of the algebraic, metric and topological properties of R ^ n.
Continuity for functions of several variables. Weierstrass, intermediate value, Heine-Cantor theorems.

Chapter 3. Differential calculus in several variables: Directional derivatives and partial derivatives. Differentiability of a function. Consequences of differentiability. Maximum and minimum relative of a function of several variables. Free and bound extremes. Method of Lagrange multipliers.

Chapter 4. Curves and line integrals. Regular curves. Equivalent curves. Definition and calculation of the length of a curve.
Line integrals of functions and vector fields. Conservative vector fields. Calculation of potentials.

Chapter 5. Differential equations: local, maximal, global solutions. Cauchy's problem. Theorem of existence and global uniqueness (*). Local existence and uniqueness theorem. Existence and uniqueness theorem for higher order equations. Linear equations: general integral for homogeneous and non-homogeneous equations (*). 1st order equations (*). Lagrange method or the variation of parameters. Equations with constant coefficients: description of the solution method. Other elementary integrable equations: with separable, homogeneous, Bernoulli, autonomous variables.

Chapter 6. Multiple integrals: Riemann integral. Double and triple integrals. Reduction formulas in the case of normal domains. Variable change theorem for multiple integrals. Passage to the limit under the integral sign. Regular surfaces, tangent plane and normal versor. Area of ​​a surface and surface integrals for scalar functions. Flow of a vector field. Divergence theorem in two and three dimensions.

Chapter 7. Geometry in the plane and in space. Quadratic forms: Definitions. Definite, semidefinite and indefinite matrices.
Recalls on Euclidean spaces. Definition, norm, distance and Cauchy-Schwarz and Minkowski inequality. Complements of analytical geometry of the plane: Transformations of the plane. Conics and their classification. Analytic geometry of space. Lines, planes and spheres: Cartesian and parametric equations and reciprocal positions. Notes on quadrics. Transformations in space.

Conoscenze e comprensione. Possedere una solida preparazione con conoscenze di Analisi Matematica in più variabili, in vista delle applicazioni nell'Ingegneria Industriale.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: 

# essere in grado di studiare le funzioni di più variabili reali, # essere in grado di calcolare integrali multipli, di linea e di superficie, risolvere Problemi di Cauchy per equazioni differenziali, # essere consapevoli delle possibili applicazioni delle nozioni apprese per materie diverse dalla matematica, in particolare in fisica e ingegneria. # conoscere i principali elementi della teoria delle matrici e della geometria del piano e dello spazio. 

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi Matematica e la Geometria.

Capacità di apprendimento. Saranno proposti argomenti da approfondire, strettamente correlati con l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo dello studente.

Knowledge and understanding. To have a solid background with knowledge of Mathematical Analysis in several variables, in view of applications in Industrial Engineering.

Ability to apply knowledge and understanding:

# Be able to study the functions of several real variables, # be able to calculate multiple, line and surface integrals, solve Cauchy problems for differential equations, # be aware of the possible applications of notions learned for subjects other than mathematics , particularly in physics and engineering. # to know the main elements of the theory of matrices and of the geometry of the plane and of space.

Autonomy of judgment. The exposition of contents and arguments will be carried out in order to improve the student's ability to recognize rigorous demonstrations and identify fallacious reasoning.

Communication skills. The presentation of the topics will be carried out in such a way as to allow the acquisition of a good ability to communicate problems, ideas and solutions regarding Mathematical Analysis and Geometry.

Learning ability. Topics to be explored, strictly related to teaching, will be proposed in order to stimulate the student's ability to learn independently.

Lezioni frontali e risoluzione di esercizi in aula (a distanza).

The course consists of frontal lessons using slides and classroom exercises (on line).

Una prima prova scritta con 5 esercizi da svolgere in tre ore. Il valore massimo della risposta a ciascun esercizio è riportato nel testo del compito. La prova è superata riportando una votazione maggiore o uguale a 18/30.Una seconda prova scritta con tre domande di teoria  da svolgere in un'ora ed eventuale discussione sulle risposte fornite. La seconda prova deve essere sostenuta nella stessa sessione in cui è stata superata la prima prova. La valutazione finale tiene conto dei risultati conseguiti nelle due prove.  

Final exam. A first written test with 5 exercises to be performed in three hours. The maximum value of the response to each exercise is shown in the text of the task. The test is passed with a score greater than or equal to 18/30. A second written test with three theoric questions to be answered in an hour and possible discussion on the answers provided. The second test must be sustained in the same session in which the first test was passed. The final evaluation takes into account the results achieved in the two tests.

Lo trovate nella sezione materiale didattico

- A. Albanese, A.Leaci e D.Pallara, Appunti del corso di Analisi Matematica II, vedere in MATERIALE DIDATTICO.

- M.Bramanti, C.D.Pagani e S.Salsa: Analisi Matematica 2, Zanichelli, Bologna, 2009.

- N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone: Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli, Bologna, 2020.

- P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di Matematica, Volume 2, parte I e II, Liguori Editore,  Napoli, 1991.

-G. De Cecco, R. Vitolo, Note di Algebra e Geometria, disponibile in rete.

- G. Calvaruso, R.Vitolo, Esercizi di Geometria e Algebra, disponibile in rete

- Cosimo De Mitri, Raccolta di Esercizi di Analisi Matematica, Unisalento Press

Il corso di Analisi Matematica e Geometria I 

Mathematical Analysis and Geometry I

Capitolo 1. Serie Numeriche. Successioni e serie di funzioni. Serie di Taylor e  di Fourier.

Capitolo 2. Limiti e continuità in più variabili: Richiami sulle proprietà algebriche, metriche e topologiche di R^n. 
Continuità per funzioni di più variabili. Teoremi di Weierstrass, dei valori intermedi, di Heine-Cantor. 

Capitolo 3. Calcolo differenziale in più variabili: Derivate direzionali e derivate parziali. Differenziabilità di una funzione. Conseguenze della differenziabilità. Massimi e minimi relativi di una funzione di più variabili. Estremi liberi e vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Capitolo 4. Curve ed integrali di linea. Curve regolari. Curve equivalenti. Definizione e calcolo della lunghezza di una curva. 
Integrali di linea di funzioni e di campi vettoriali. Campi vettoriali conservativi. Calcolo dei potenziali. 

Capitolo 5. Equazioni differenziali: soluzioni locali, massimali, globali. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità globale (*). Teorema di esistenza e unicità  locale. Teorema di esistenza e unicità  per equazioni di ordine superiore. Equazioni lineari: integrale generale per equazioni omogenee e non omogenee (*). Equazioni del I° ordine (*). Metodo di Lagrange o della variazione dei parametri. Equazioni a coefficienti costanti: descrizione del metodo di risoluzione. Altre equazioni integrabili elementarmente: a variabili separabili, omogenee, di Bernoulli, autonome.

Capitolo 6. Integrali multipli: integrale di Riemann.  Integrali doppi e tripli. Formule di riduzione nel caso di domini normali. Teorema di cambiamento di variabile per gli integrali multipli. Passaggio al limite sotto il segno d'integrale. Superfici regolari, piano tangente e versore normale. Area di una superficie ed integrali di superficie per funzioni scalari. Flusso di un campo vettoriale. Teorema della divergenza in due e tre dimensioni.

Capitolo 7. Geometria nel piano e nello spazio. Forme quadratiche: Definizioni. Matrici definite, semidefinite e indefinite.
Richiami su Spazi euclidei. Definizione, norma, distanza e disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e di Minkowski. Complementi di Geometria analitica del piano: Trasformazioni del piano. Coniche e loro classificazione. Geometria analitica dello spazio. Rette, piani e sfere: equazioni cartesiane e parametriche e posizioni reciproche. Cenni sulle quadriche. Trasformazioni nello spazio.

Contents.

Chapter 1. Numerical Series. Sequences and series of functions. Taylor and Fourier series.

Chapter 2. Limits and continuity in several variables: Review of the algebraic, metric and topological properties of R ^ n.
Continuity for functions of several variables. Weierstrass, intermediate value, Heine-Cantor theorems.

Chapter 3. Differential calculus in several variables: Directional derivatives and partial derivatives. Differentiability of a function. Consequences of differentiability. Maximum and minimum relative of a function of several variables. Free and bound extremes. Method of Lagrange multipliers.

Chapter 4. Curves and line integrals. Regular curves. Equivalent curves. Definition and calculation of the length of a curve.
Line integrals of functions and vector fields. Conservative vector fields. Calculation of potentials.

Chapter 5. Differential equations: local, maximal, global solutions. Cauchy's problem. Theorem of existence and global uniqueness (*). Local existence and uniqueness theorem. Existence and uniqueness theorem for higher order equations. Linear equations: general integral for homogeneous and non-homogeneous equations (*). 1st order equations (*). Lagrange method or the variation of parameters. Equations with constant coefficients: description of the solution method. Other elementary integrable equations: with separable, homogeneous, Bernoulli, autonomous variables.

Chapter 6. Multiple integrals: Riemann integral. Double and triple integrals. Reduction formulas in the case of normal domains. Variable change theorem for multiple integrals. Passage to the limit under the integral sign. Regular surfaces, tangent plane and normal versor. Area of ​​a surface and surface integrals for scalar functions. Flow of a vector field. Divergence theorem in two and three dimensions.

Chapter 7. Geometry in the plane and in space. Quadratic forms: Definitions. Definite, semidefinite and indefinite matrices.
Recalls on Euclidean spaces. Definition, norm, distance and Cauchy-Schwarz and Minkowski inequality. Complements of analytical geometry of the plane: Transformations of the plane. Conics and their classification. Analytic geometry of space. Lines, planes and spheres: Cartesian and parametric equations and reciprocal positions. Notes on quadrics. Transformations in space.

Conoscenze e comprensione. Possedere una solida preparazione con conoscenze di Analisi Matematica in più variabili, in vista delle applicazioni nell'Ingegneria Industriale.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: 

# essere in grado di studiare le funzioni di più variabili reali, # essere in grado di calcolare integrali multipli, di linea e di superficie, risolvere Problemi di Cauchy per equazioni differenziali, # essere consapevoli delle possibili applicazioni delle nozioni apprese per materie diverse dalla matematica, in particolare in fisica e ingegneria. # conoscere i principali elementi della teoria delle matrici e della geometria del piano e dello spazio. 

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi Matematica e la Geometria.

Capacità di apprendimento. Saranno proposti argomenti da approfondire, strettamente correlati con l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo dello studente.

Knowledge and understanding. To have a solid background with knowledge of Mathematical Analysis in several variables, in view of applications in Industrial Engineering.

Ability to apply knowledge and understanding:

# Be able to study the functions of several real variables, # be able to calculate multiple, line and surface integrals, solve Cauchy problems for differential equations, # be aware of the possible applications of notions learned for subjects other than mathematics , particularly in physics and engineering. # to know the main elements of the theory of matrices and of the geometry of the plane and of space.

Autonomy of judgment. The exposition of contents and arguments will be carried out in order to improve the student's ability to recognize rigorous demonstrations and identify fallacious reasoning.

Communication skills. The presentation of the topics will be carried out in such a way as to allow the acquisition of a good ability to communicate problems, ideas and solutions regarding Mathematical Analysis and Geometry.

Learning ability. Topics to be explored, strictly related to teaching, will be proposed in order to stimulate the student's ability to learn independently.

Lezioni frontali e risoluzione di esercizi in aula (a distanza).

The course consists of frontal lessons using slides and classroom exercises (on line).

Una prima prova scritta con 5 esercizi da svolgere in tre ore. Il valore massimo della risposta a ciascun esercizio è riportato nel testo del compito. La prova è superata riportando una votazione maggiore o uguale a 18/30.Una seconda prova scritta con tre domande di teoria  da svolgere in un'ora ed eventuale discussione sulle risposte fornite. La seconda prova deve essere sostenuta nella stessa sessione in cui è stata superata la prima prova. La valutazione finale tiene conto dei risultati conseguiti nelle due prove.  

Final exam. A first written test with 5 exercises to be performed in three hours. The maximum value of the response to each exercise is shown in the text of the task. The test is passed with a score greater than or equal to 18/30. A second written test with three theoric questions to be answered in an hour and possible discussion on the answers provided. The second test must be sustained in the same session in which the first test was passed. The final evaluation takes into account the results achieved in the two tests.

Lo trovate nella sezione materiale didattico

- A. Albanese, A.Leaci e D.Pallara, Appunti del corso di Analisi Matematica II, vedere in MATERIALE DIDATTICO.

- M.Bramanti, C.D.Pagani e S.Salsa: Analisi Matematica 2, Zanichelli, Bologna, 2009.

- N.Fusco, P.Marcellini, C.Sbordone: Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli, Bologna, 2020.

- P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di Matematica, Volume 2, parte I e II, Liguori Editore,  Napoli, 1991.

-G. De Cecco, R. Vitolo, Note di Algebra e Geometria, disponibile in rete.

- G. Calvaruso, R.Vitolo, Esercizi di Geometria e Algebra, disponibile in rete

- Cosimo De Mitri, Raccolta di Esercizi di Analisi Matematica, Unisalento Press