Nozioni fondamentali di Topologia Generale: spazi topologici, aperti e chiusi, funzioni continue, topologie prodotto e quoziente, spazi connessi, spazi compatti,

Topologia Algebrica: gruppo fondamentale di Poincaré, spazi di rivestimento, gruppi di omologia simpliciale, superfici connesse compatte.

Conoscenze e comprensione. Possedere una solida preparazione su conoscenze di base di topologia algebrica.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione:  essere in grado di produrre dimostrazioni ed applicare risultati di Topologia Algebrica.

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti la Topologia Algebrica.

Capacità di apprendimento. Saranno indicati argomenti da approfondire, strettamente correlati con l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo dello studente.

Lezione frontale

L’esame consiste  di una prova di teoria. La prova di teoria verifica l’abilità di esporre ed applicare in modo chiaro e rigoroso alcuni contenuti del corso.
Gli studenti dovranno prenotarsi per sostenere l’esame utilizzando esclusivamente le modalità online previste dal sistema VOL.

Il gruppo fondamantale di Poincaré: cammini, omotopia di funzioni e di cammini, il gruppo fondamentale, ruolo del punto base, invarianza topologica ed omotopica, gruppi fondamentali non abeliani, i Teoremi di Seifert-Van Campen.

Spazi di rivestimento: definizione e proprietà topologiche, esempi, sollevamenti di funzioni, cammini ed omotopie, rivestimenti e gruppo fondamentale, gruppi ad azione propriamente discontinua.

Gruppi di omologia simpliciale: simplessi e complessi simpliciali, proprietà topologiche, richami sui gruppi abeliani finitamente generati, gruppo delle p-catene, operatore bordo, i gruppi di omologia, invarianza topologica, numeri di Betti e caratteristica di Eulero-Poincaré, il Teorema di Eulero-Poincaré.

Superfici connesse compatte: n-varietà topologiche, senza bordo e con bordo, esempi di superfici, somma connessa e caratteristica di Eulero-Poincaré delle superfici connesse compatte, teorema di classificazione e proprietà, orientabilità, superfici connesse compatte e regioni poligonali, gruppo fondamentale delle superfici connesse compatte, geometrie omogenee sulle superfici connesse compatte.

Munkres, Algebraic Topology.  (disponibile presso la Biblioteca di Matematica)