nozioni elementari di teoria dei gruppi e degli anelli

Il corso tratta gli aspetti elementari dell'algebra commutativa con attenzione alle sue applicazioni alla geometria algebrica e alla teoria dei numeri

• Conoscenze e comprensione: saper operare con anelli, moduli e prodotti tensore
• Capacità di applicare conoscenze e comprensione: saper applicare i teoremi studiati a situazioni concrete
• Autonomia di giudizio: saper riconoscere una dimostrazione corretta
• Abilità comunicative: saper esporre i teoremi studiati e saper risolvere facili esercizi
• Capacità di apprendimento: saper studiare autonomamente una dimostrazione di algebra commutativa

lezioni ed esercitazioni in aula

L’esame consiste in una prova orale che verifica l’abilità di risolvere correttamente alcuni esercizi relativi alle tematiche del corso e di dimostrare alcuni teoremi visti a lezione. Gli studenti devono saper collegare i concetti di Algebra Commutativa visti a lezioni e proporre delle catene di deduzioni, esposte con il linguaggio tecnico appropriato, che chiariscano il problema in esame.

Anelli e omomorfismi di anelli; ideali, anelli quozienti; divisori dello zero, elementi nilpotenti, elementi invertibili; ideali primi e ideali massimali; il nilradicale e il radicale di Jacobson; operazioni sugli ideali; Estensione e contrazione; Moduli e omomorfismi di moduli; sottomoduli e moduli quozienti; operazioni sui sottomoduli; somma diretta e prodotto diretto; moduli finitamente generati; successioni esatte; prodotto tensoriale di moduli; restrizione ed estensione degli scalari; proprietà di esattezza del prodotto tensoriale; algebre; prodottto tensoriale di algebre; proprietà locali; ideali estesi e contratti negli anelli di frazioni; decomposizione primaria.

Rings and homomorphism; ideals and quotient rings; zero divisors, nilpotent elements, invertible elements; prime ideals and maximal ideals; the nilradical and the Jacobson's radical; operations with ideals; extension and contraction; modules and module homomorphism; submodules and quotient modules; operations with modules; direct sum and direct product; finitely generated moudules; exact sequences; tensor product of modules; restriction and extension of scalars; exactness properties of tensor product; algebras; tensor products of algebras; local properties; extension and contraction of ideals in fraction rings; primary decomposition.

Atiyah - MacDonald: Algebra Commutativa