Contenuto dei corsi di Geometria e Analisi Matematica della laurea triennale in Matematica, e nozioni di base della teoria dei gruppi.

Scopo principale del corso è introdurre lo studente a concetti e metodi di base della geometria differenziale delle varietà differenziabili e in particolare della geometria riemanniana. Particolare attenzione è data alla scelta di esempi significativi e alla comprensione delle argomentazioni (anche enfatizzando possibili applicazioni alla Fisica).

Conoscenze e comprensione: possedere una solida preparazione sulle conoscenze di base della geometria delle varietà differenziabili e in particolare delle varietà riemanniane; conoscere le proprietà fondamentali delle varietà Riemanniane; saper risolvere esercizi su esempi significativi.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: essere in grado di formalizzare matematicamente problemi correlati ad argomenti svolti nel corso; essere capaci di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di geometria delle varietà differenziabili e delle varietà riemanniane.

Autonomia di giudizio: l’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare l'autonomia di giudizio dello studente.

Abilità comunicative: la presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi e idee riguardanti le varietà differenziabili e in particolare le varietà riemanniane.

Capacità di apprendimento: saranno indicati argomenti da approfondire, correlati con l’insegnamento, al fine di migliorare la capacità di apprendimento autonomo dello studente

Lezioni frontali.

Prova orale o scritta (dipende dalla situazione Covid-19). Tale prova consiste nella verifica dell’abilità di esporre in modo chiaro e rigoroso alcuni contenuti del corso.

Nozioni di base sulle varietà differenziabili: Varietà differenziabili e applicazioni differenziabili. Esempi. Spazio tangente in un punto a una varietà differenziabile. Campi di vettori. Il fibrato tangente. Il differenziale di un'applicazione differenziabile. Tensori su una varietà differenziabile. Immersioni e sottovarietà con esempi.

Gruppi di Lie: Concetti di base su gruppi di Lie ed algebre di Lie . Esempi.

Varietà Riemanniane: Metriche riemanniane. Gli spazi modello della geometria riemanniana. Altri esempi. Immersioni e sottovarietà riemanniane. Struttura di spazio metrico su una varietà riemanniana. Isometrie. I gruppi di isometrie dello spazio euclideo, della sfera canonica e dello spazio iperbolico. Connessione lineare su una varietà differenziabile. Derivata covariante. Trasporto parallelo. Curve geodetiche. La connessione di Levi-Civita. Curve geodetiche dal punto di vista riemanniano. Connessione di Levi-Civita di sottovarietà riemanniane. Esempi di curve geodetiche. Curvatura riemanniana e spazi a curvatura sezionale costante

D. Perrone, Un’introduzione alla geometria riemanniana, Aracne Editrice, Roma, 2011.

M. P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhauser, Boston-Basel - Berlin, 1993.