ANALISI MATEMATICA II

Insegnamento
ANALISI MATEMATICA II
Insegnamento in inglese
MATHEMATICAL ANALYSIS II
Settore disciplinare
MAT/05
Corso di studi di riferimento
FISICA
Tipo corso di studio
Laurea
Crediti
8.0
Ripartizione oraria
Ore Attività Frontale: 64.0
Anno accademico
2021/2022
Anno di erogazione
2021/2022
Anno di corso
1
Lingua
ITALIANO
Percorso
PERCORSO COMUNE
Docenti responsabili dell'erogazione
ANGIULI LUCIANA
SPINA CHIARA
Sede
Lecce

Descrizione dell'insegnamento

Contenuto dei corsi di Analisi 1 e Geometria 1 

Il corso è il naturale prolungamento del corso di Analisi Matematica I ed ha come obiettivo principale l'acquisizione di competenze di base nell'ambito dell' analisi matematica.

Conoscenze e comprensione. Acquisire una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di base nell'ambito dell'Analisi Matematica.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: 

  • essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati di Analisi Matematica.
  •  essere in  grado di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Analisi Matematica.
  • essere in grado di risolvere esercizi di base di Analisi Matematica (studi di funzione, calcolo di limiti, studi di serie numeriche, integrazione) 

Autonomia di giudizio. L’esposizione dei contenuti e delle argomentazioni sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci.

Abilità comunicative. La presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti l’Analisi Matematica, sia in forma scritta che orale.

Capacità di apprendimento.  La capacità di apprendimento  dello studente sarà stimolata  proponendo esercizi, anche teorici,  da risolvere autonomamente.

Lezioni frontali

Una prova scritta su esercizi ed una prova orale su argomenti di teoria.

Alla prova di teoria lo studente accede se ha conseguito la votazione di almeno 18 nella prova di esercizi.  La prova  di teoria deve essere sostenuta nello stesso appello o in quello immediatamente successivo di quella scritta, comunque all'interno della stessa sessione. Se lo studente non supera la prova di teoria, dovrà ripetere anche la prova scritta sugli esercizi.

Per poter partecipare all'esame è necessario prenotarsi usando la procedura online.

Calcolo integrale: Suddivisioni, somme integrali. Confronto tra somme integrali su partizioni in relazione
d’ordine (*). Funzioni integrabili secondo Riemann. Esempi e controesempi. Proprietà di linearità, additività
rispetto all’intervallo d’integrazione e confronto. Teorema di caratterizzazione delle funzioni integrabili (*).
Teorema d’integrabilità delle funzioni continue (*). Funzioni continue a tratti. Integrabilità delle funzioni
continue a tratti. Teorema d’integrabilità delle funzioni monotone (*). Integrabilità di composizioni di
funzioni integrabili con funzioni Lipschitziane ed applicazioni (*). Area di figure piane. Media integrale.
Teorema della media integrale (*). Funzione integrale. Lipschitzianità della funzione integrale (*) Teorema
fondamentale del calcolo integrale (*). Secondo Teorema fondamentale del calcolo integrale (*). Integrali
impropri di prima specie. Criterio di confronto per integrali impropri di prima specie. Criterio d’integrabilità
per integrali impropri di prima specie. Integrali impropri di seconda specie. Criterio di confronto per
integrali impropri di seconda specie. Criterio d’integrabilità per integrali impropri di seconda specie. Esempi
e applicazioni.

Serie numeriche: Serie convergente, divergente e indeterminata. Carattere di una serie. Carattere di una
serie geometrica(*). Condizione necessaria per la convergenza di una serie (*). Criterio di Cauchy per le
serie(*) con applicazione alla serie armonica. Serie convergente assolutamente. Convergenza assoluta e
convergenza semplice (*). Carattere di una serie a termini positivi (*). Confronto tra serie a termini positivi
(*). Criterio del confronto asintotico (*). Criterio di condensazione di Cauchy (*) con applicazione alla serie
armonica e armonica generalizzata. Confronto asintotico con la serie armonica generalizzata (*) Criterio
della radice (*). Criterio del rapporto (*) Criterio di confronto tra serie e integrali impropri(*). Serie a
termini di segno variabile. Teorema di Leibniz per le serie a segni alterni (*) Serie a termini complessi. Serie
prodotto alla Cauchy. Convergenza della serie prodotto (*). Riordinamento di serie numeriche.
Caratterizzazione della convergenza assoluta in termini dei riordinamenti. Teorema di Riemann.

Cenni di topologia di R n : Prodotto scalare euclideo. Norma euclidea indotta e proprietà. Distanza e
proprietà. Intorni sferici. Punti interni, esterni e di frontiera. Punti di accumulazione e punti isolati. Insiemi
aperti e chiusi. Proprietà degli aperti e dei chiusi. Caratterizzazione dei chiusi. Chiusura, parte interna.
Insiemi limitati. Segmenti e poligonali. Insiemi connessi per poligonali. Insiemi convessi. Insiemi stellati.

Successioni a valori vettoriali: Successioni convergenti. Caratterizzazione della convergenza di successioni
vettoriali in termini di quella delle sue componenti reali (*) e unicità del limite. Successioni estratte e
convergenza. Caratterizzazione della chiusura di un sottoinsieme di R^k. Insiemi compatti in R^k. Teorema
di Heine-Borel (*)

Funzioni reali di più variabili reali: Definizione di limite. Proprietà dei limiti (unicità, permanenza del segno,
caratterizzazione mediante successioni, operazioni). Funzioni continue. Continuità della funzione composta.
Caratterizzazione topologica della continuità. Funzioni limitate superiormente, inferiormente. Maggioranti
e minoranti per una funzione. Estremo superiore e inferiore di una funzione. Massimo e minimo di una
funzione limitata. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Funzioni uniformemente continue
e funzioni Lipschitziane. Teorema di Heine- Cantor. Funzioni vettoriali di una variabile. Domini e grafici di
funzioni di due/tre variabili. Piani, paraboloide ellittico, cilindro parabolico, cilindro

circolare/ellittico/iperbolico, sfera/ellissoide, paraboloide iperbolico (sella), cono circolare/ellittico,
iperboloide ad una falda, a due falde.

Calcolo differenziale in più variabili: Derivate parziali e differenziabilità. Proprietà delle funzioni
differenziabili (*). Significato geometrico. Teorema della media o di Lagrange in più variabili (*). Teorema
del differenziale totale (*). Differenziale della funzione composta (*). Funzioni con gradiente nullo in aperti
connessi sono costanti (*). Funzioni di classe C n . Teorema di Schwarz (*). Formula di Taylor del secondo
ordine (*). Polinomio di Taylor.
Forme quadratiche ed estremi relativi: Classificazione delle forme quadratiche con gli autovalori. Estremi
relativi. Massimo e minimo autovalore di forme quadratiche definite positive (*). In un punto di estremo
relativo il gradiente di funzioni differenziabili è nullo (*). Punti critici. Matrice Hessiana. Forma quadratica
Hessiana. In un punto di estremo relativo la forma è Hessiana è semidefinita (*). Classificazione dei punti
critici con la forma Hessiana (*). Classificazione dei punti critici in R 2 .
Funzioni convesse: Caratterizzazione di funzioni convesse regolari (*). Se f è convessa il grafico è al di sopra
dell’iperpiano tangente (*). Punti critici di funzioni convesse regolari sono punti di minimo assoluto (*).
Funzioni vettoriali: Matrice Jacobiana e differenziale. Differenziale della funzione composta. Cambiamenti
di coordinate: trasformazioni lineari, coordinate polari piane, coordinate cilindriche, coordinate sferiche in
R 3 .
Curve in R n : Curve, sostegno, estremi della curva, curve chiuse. Confronto tra sostegni di curve e grafici di
funzioni. Curve semplici. Curve di classe C k . Curve regolari e regolari a tratti. Esempi (segmenti, rette,
poligonali, circonferenze, ellissi, elica cilindrica). Curve equivalenti. Versore tangente e retta tangente ad
una curva. Lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea. Lunghezza di curve regolari a tratti (*). Lunghezza di
una curva cartesiana. Curve in coordinate polari. Integrali di linea di funzioni reali e vettoriali. Composizione
di due curve. Esempio di curva non rettificabile.

Forme differenziali lineari : Forme differenziali lineari. (F.d.l.) F. d.l. di classe C k . F.d.l. e lavoro di un campo
vettoriale. Integrale di una f.d.l. lungo una curva e sue proprietà. Invarianza dell’integrale rispetto a curve
equivalenti (*). Integrale curvilineo del differenziale di una funzione regolare(*). F.d.l. esatte. Primitive di
una f.d.l. Condizione necessaria per ché una forma differenziale sia esatta in termini dell’integrale lungo
una curva. Lemma di caratterizzazione degli aperti connessi (*) Caratterizzazione di una forma differenziale
esatta definita in un aperto connesso. Campi conservativi e potenziali. F.d. l. chiuse. Condizione necessaria
perché una f.d.l. regolare sia esatta. Condizioni sul dominio della forma perché una f.d.l. chiusa sia anche
esatta (rettangoli di R n (*), domini stellati (*), aperti semplicemente connessi). Campi conservativi e
irrotazionali. Potenziale vettore di un campo vettoriale. Condizione necessaria e sufficienza di esistenza.

A.Albanese, A.Leaci, D.Pallara: Appunti del corso di Analisi Matematica I e II

P.Marcellini, C.Sbordone: Analisi Matematica 1 e 2, Liguori Editore, Napoli.

P.Marcellini, C.Sbordone: Esercitazioni di Analisi Matematica 1 e 2, Liguori Editore,  Napoli.

Semestre
Secondo Semestre (dal 21/02/2022 al 03/06/2022)

Tipo esame
Obbligatorio

Valutazione
Scritto e Orale Separati - Voto Finale

Orario dell'insegnamento
https://easyroom.unisalento.it/Orario

Mutuato in
ANALISI MATEMATICA II (LB04)

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