Analisi matematica di base; topologia generale; algebra lineare. Analisi funzionale elementare. Spazi di Hilbert. 

Misure positive.  Spazi di Banach. Spazi L^p. Convoluzione e regolarizzazione. Trasformata di Fourier.  

• Conoscenze e comprensione: esempi significativi di spazi con misura ed applicazione dei metodi studiati alla risoluzione dei problemi discussi nel corso.

• Capacità di applicare conoscenze e comprensione: capacita’ di estendere risultati e metodi a casi non studiati in dettaglio nel corso.

• Autonomia di giudizio: capacita’ di orientarsi criticamente nella bibliografia pu’ avanzata.

• Abilità comunicative: esposizione delle conoscenze acquisite in modo comprensibili a chi abbia i prerequisiti in ingresso.

• Capacità di apprendimento: possibilita’ di proseguire autonomamente lo studio di argomenti piu’ avanzati.

Lezioni ed esercitazioni in aula.

Una prova scritta volta ad accertare la capacita' di risolvere problemi simili a quelli discussi nel corso ed a produrre dimostrazioni rigorose di varianti dei risultati visti. Una prova orale volta ad accertare la capacita' di esporre in modo chiaro e rigoroso gli argomenti studiati e di discutere collegamenti fra i vari argomenti di Analisi matematica studiati anche nei corsi gia' seguiti.

Misure positive, teorema di estensione. Integrazione in uno spazio con misura. Misure boreliane in spazi metrici. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale e integrali dipendenti da parametri. Misure prodotto e Teorema di Fubini. Misure reali e teorema di rappresentazione del duale di C(K). Misura immagine, formula dell'area e teorema di cambiamento di variabili negli integrali multipli. Misura di una ipersuperficie regolare e integrali su ipersuperficie in R^n. Convergenza in misura e teoremi di Lusin ed di Egorov. Punti di Lebesgue. Uniforme convessità. Spazi L^p: proprieta' e diseguaglianze fondamentali. Duali degli spazi L^p. Convoluzione e regolarizzazione. Trasformata di Fourier. Spazi di Sobolev in dimensione 1. Funzioni a variazione limitata di una variabie reale e funzioni assolutamente continue. 

Ambrosio, Da Prato, Mennucci: Introduction to measure theory and integration, Ed. Della Normale 2011 

Haim Brezis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer 2010. 

A.N. Kolmogorov, S.V. Fomin: Elementi di teoria delle funzioni e di Analisi Funzionale, MIR 1980. 

E. Lieb, M. Loss: Analysis, AMS 2001.

W. Rudin, Real and complex analysis, McGraw-Hill, 1987.

M. Muratori, F. Punzo, N. Soave: Esercizi svolti di analisi reale e funzionale, Esculapio,